Question

在已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R，其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜

π

2

的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為

π

2

，且圖象上的一個最低點為M（

2π

3

，-2）．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）說明函數(shù)f（x）是由函數(shù)y=sinx的圖象依次經(jīng)過哪些變換得到的；
（3）當x∈[

π

12

，

π

2

]時，求f（x）的值域．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（1）由題意求得A和T的值，代入周期公式求得ω，得到函數(shù)f（x）=2sin（2x+φ），再把點M（

2π

3

，-2）
代入函數(shù)解析式求得φ，則函數(shù)解析式可求；
（2）直接由三角函數(shù)的平移變換得答案；
（3）根據(jù)x的范圍求得2x+

π

6

的范圍，則函數(shù)的值域可求．

解答： 解：（1）由題意可知，A=2，

T

2

=

π

2

，
∴T=

2π

ω

=π，則ω=2．
∴函數(shù)f（x）=2sin（2x+φ），
又圖象上的一個最低點為M（

2π

3

，-2）．
∴2sin(2×

2π

3

+φ)=-2，
∵0＜φ＜

π

2

，
∴φ=

π

6

．
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）；
（2）∵f（x）=2sin（2x+

π

6

），
∴函數(shù)y=sinx的圖象先向左平移

π

6

個單位長度，再把所得圖象上點的橫坐標縮小到原來的

1

2

（縱坐標不變），最后把所得圖象上點的縱坐標擴大到原來的2倍（橫坐標不變），所得圖象的函數(shù)解析式即為f（x）；
（3）x∈[

π

12

，

π

2

]時，2x+

π

6

∈[

π

3

，

7π

6

]，
∴f（x）的值域為[-1，2]．

點評：本題考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，考查了其圖象變換，訓練了三角函數(shù)值域的求法，是基礎題．