Question

數(shù)列{a_n}中，a_n+1=|a_n-4|+2（n∈N⁺）．
（1）若a₁=1，求數(shù)列前n項(xiàng)和S_n．
（2）是否存在a₁（a₁≠3），使數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列？若存在，求出a₁，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）a_n+1=|a_n-4|+2（n∈N⁺），a₁=1，可得a₂=5，a₃=3，…，可得a_n=3（n≥3），即可得出S_n．
（2）對(duì)a分類討論，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答： 解：（1）∵a_n+1=|a_n-4|+2（n∈N⁺），a₁=1，
∴a₂=|1-4|+2=5，
∴a₃=a₂-4+2=3，
a₄=3，
∴a_n=3（n≥3），
∴數(shù)列前n項(xiàng)和S_n=

1，n=1 6，n=2 3n，n≥3

．
（2）假設(shè)存在a₁=a（a₁≠3），使數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列．
①假設(shè)a≥4，則a₂=|a-4|+2=a-2，∴公差d=-2．
∴a_n=a-2（n-1）=a+2-2n．
∵a_n+1=|a_n-4|+2（n∈N⁺）．
∴a+2-2（n+1）=|a+2-2n|+2，
化為a-2n-2=|a+2-2n|，
則當(dāng)n=2時(shí)，化為a-6=a-2，即4=0，矛盾，因此假設(shè)不成立；
②假設(shè)a＜4，則a₂=|a-4|+2=6-a，∴公差d=6-2a．
∴a_n=a+（n-1）（6-2a）．
∴a₃=a+2（6-2a）=12-3a，
而a₃=|a₂-4|+2=|6-a-4|+2=

4-a，a≤2 a，2＜a＜4

，
當(dāng)a≤2時(shí)，∴12-3a=4-a，解得a=4，矛盾．
當(dāng)2＜a＜4時(shí)，由a=6-a，解得a=3，舍去．
綜上可得：不存在a₁=a（a₁≠3），使數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式、含絕對(duì)值的數(shù)列，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．