Question

如圖，A₁、A₂、F₁、F₂分別是雙曲線C：

x2

9

-

y2

16

=1的左、右頂點(diǎn)和左、右焦點(diǎn)，M（x₀、y₀）是雙曲線C上任意一點(diǎn)，直線MA₂與動(dòng)直線l：x=

9

x0

相交于點(diǎn)N．
（1）求點(diǎn)N的軌跡E的方程；
（2）點(diǎn)B為曲線E上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，連接F₁B交曲線E于另一點(diǎn)D，記四邊形A₁ A₂BD對角線的交點(diǎn)為G，證明：點(diǎn)G在定直線上．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）直線MA₂方程為：y₀（x-3）-（x₀-3）y=0，代入雙曲線方程，能求出點(diǎn)N的軌跡E的方程．
（2）設(shè)B(3cosθ，4sinθ)(0＜θ＜

π

2

)，則直線F₁B的方程為：y=

4sinθ

3cosθ+5

(x+5)，由此入手能證明點(diǎn)G在雙曲線C的左準(zhǔn)線x=-

9

5

上．

解答： （本小題滿分13分）
（1）解：直線MA₂方程為：y₀（x-3）-（x₀-3）y=0
由方程組

x= 9 x0 y0(x-3)-(x0-3)y=0

…（2分）
代入雙曲線方程化簡得：
點(diǎn)N的軌跡E的方程為：

y2

16

+

x2

9

=1…（5分）
（2）證明：如圖，設(shè)B(3cosθ，4sinθ)(0＜θ＜

π

2

)，
則直線F₁B的方程為：y=

4sinθ

3cosθ+5

(x+5)
代入E的方程化簡得：
（17+15cosθ）x²+（45sin²θ）x-9cosθ（17cosθ+15）=0…（9分）
∴xD=-

9cosθ(17cosθ+15)

xB(17+15cosθ)

=-

3(17cosθ+15)

17+15cosθ

，
yD=

32sinθ

17+15cosθ

，
∴A₁B的方程為：4sinθ（x+3）-3（cosθ+1）y=0①
A₂D的方程為：sinθ（x-3）+3（cosθ+1）y=0②…（11分）
由①②消去y得：x=-

9

5

即點(diǎn)G在雙曲線C的左準(zhǔn)線x=-

9

5

上．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查點(diǎn)的坐標(biāo)在雙曲線的左準(zhǔn)線上的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．