Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為2

3

，A、B兩點(diǎn)分別是橢圓E的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)，且直線AB與圓O：x²+y²=

4

5

相切
（1）求橢圓E的方程；
（2）過(guò)原點(diǎn)O任作兩條相互垂直的射線交橢圓E于P、Q兩點(diǎn)，試判斷直線PQ是否總與圓O相切，并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出

ab a2+b2 = 2 5 5 c= 3 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓E的方程．
（2）當(dāng)k_OP不存在時(shí)，直線PQ與圓O相切；當(dāng)k_OP存在時(shí)，設(shè)OP：y=kx（k＞0），代入橢圓方程x²+4k²y²=4，能推導(dǎo)出直線PQ與圓O：x2+y2=

4

5

總相切．

解答： 解：（1）直線AB：

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，
∴

ab a2+b2 = 2 5 5 c= 3 a2=b2+c2

，解得a²=4，a2=

3

5

（舍去），∴b²=1，
∴橢圓E：

x2

4

+y2=1．…6分
（2）當(dāng)k_OP不存在時(shí)，直線PQ是與問(wèn)題（2）中的圓O：x2+y2=

4

5

相切；
當(dāng)k_OP存在時(shí)，設(shè)OP：y=kx（k＞0），代入橢圓方程x²+4k²x²=4，
∴x2=

4

1+4k2

，取x_P=

2

1+4k2

＞0，以-

1

k

代k，得x_Q=

2k

k2+4

，
∴|OP|=

1+k2

•

2

1+4k2

，
|OQ|=

1+ 1 k2

•

2k

k2+4

=

1+k2

•

2

k2+4

，
因OP⊥OQ，
∴|PQ|=

4(1+k2) 1+4k2 + 4(1+k2) k2+4

=2

1+k2

•

5k2+5

1+4k2 • k2+4

=

2 5 (1+k2)

1+4k2 • k2+4

，
設(shè)邊PQ上的高為h，由面積法

1

2

•

1+k2

•

2

1+4k2

•

1+k2

•

2

k2+4

=

1

2

•

2 5 (1+k2)

1+4k2 • k2+4

•h，
∴h=

2 5

5

，故直線PQ與圓O：x2+y2=

4

5

總相切，
同理，由對(duì)稱性可知，當(dāng)k＜0時(shí)，及x_p＜0，結(jié)論也成立．…12分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線與圓是否總相切的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意面積法的合理運(yùn)用．