Question

15．求下列函數(shù)的值域（其中（1）和（4）請(qǐng)畫出函數(shù)的圖象）
（1）f（x）=$\frac{1}{x+3}$；
（2）f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}+3}$+3；
（3）f（x）=2x²-4x+3（-1＜x＜4）；
（4）f（x）=|x+1|+$\sqrt{（x-2）^{2}}$；
（5）f（x）=2x²-4x+3（-1＜x＜a）．

Answer 1

分析 （1）可認(rèn)為f（x）的圖象是由y=$\frac{1}{x}$的圖象向左平移3個(gè)單位得到，畫出圖象，根據(jù)圖象即可得出f（x）的值域；
（2）根據(jù)x²+3≥3求出$\frac{1}{{x}^{2}+3}$的范圍，從而求出f（x）的范圍，即f（x）的值域；
（3）配方，通過觀察即可得到f（x）的取值范圍，也即得到f（x）的值域；
（4）開平方得到$f（x）=|x+1|+|x-2|=\left\{\begin{array}{l}{-2x+1}&{x≤-1}\\{3}&{-1＜x＜2}\\{2x-1}&{x≥2}\end{array}\right.$，在每段上的圖象為直線，畫出圖象，根據(jù)圖象即可得出該函數(shù)的值域；
（5）配方得到f（x）=2（x-1）²+1，討論a和區(qū)間（-1，3）的關(guān)系：a≤-1，-1＜a＜3，和a≥3，在每種情況下根據(jù)二次函數(shù)f（x）的單調(diào)性或取得頂點(diǎn)的情況及比較兩端點(diǎn)值從而得出函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：（1）畫出f（x）的圖象如下：

$\frac{1}{x+3}≠0$；
∴該函數(shù)的值域?yàn)閧f（x）|f（x）≠0}；
（2）x²+3≥3；
∴$0＜\frac{1}{{x}^{2}+3}≤\frac{1}{3}$；
∴$3＜f（x）≤\frac{10}{3}$；
∴原函數(shù)的值域?yàn)椋?（3，\frac{10}{3}]$；
（3）f（x）=2（x-1）²+1≥1；
f（4）＞f（-1），f（4）=19；
∴原函數(shù)的值域?yàn)閇1，19）；
（4）f（x）=|x+1|+|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+1}&{x≤-1}\\{3}&{-1＜x＜2}\\{2x-1}&{x≥2}\end{array}\right.$；
∴函數(shù)的圖象如下：
根據(jù)圖象可看出該函數(shù)的值域?yàn)閇3，+∞）；
（5）f（x）=2（x-1）²+1；
①若-1＜a≤1，則f（x）在（-1，a）上單調(diào)遞減；
∴f（x）∈（f（a），f（-1））=（2（a-1）²+1，9）；
∴f（x）的值域?yàn)椋海?（a-1）²+1，9）；
②1＜a＜3，則f（x）≥f（1）=1；
f（-1）=f（3）；
∴f（x）的值域?yàn)椋篬1，9）；
③若a≥3，f（x）≥1，且f（a）≥f（-1）；
∴f（x）的值域?yàn)閇1，2（a-1）²+1）．

點(diǎn)評(píng) 考查平移變換的變換過程，掌握反比例函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式的性質(zhì)求函數(shù)值域，處理含絕對(duì)值函數(shù)的方法：去絕對(duì)值號(hào)，以及根據(jù)函數(shù)圖象求函數(shù)值域的方法，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性或取得頂點(diǎn)情況，及比較端點(diǎn)值的方法求函數(shù)的值域．