Question

已知定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）的偶函數(shù)g（x）在（-∞，0）內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，且g（x•y）=g（x）+g（y）對任意的x，y都成立，g（2）=1．
（1）證明g（x）在（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)
（2）求g（4）的值；
（3）求滿足條件g（x）＞g（x+1）+2的x的取值范圍．

Answer 1

（1）設(shè)0＜x₁＜x₂，則0＞-x₁＞-x₂，
∵g（x）在（-∞，0）為單調(diào)遞減函數(shù)，∴g（-x₁）＞g（-x₂），
∵g（x）為偶函數(shù)，∴-g（x₁）＞-g（x₂），即g（x₁）＜g（x₂），
∴g（x）在（0，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)．
（2）令x=y=2代入g（x•y）=g（x）+g（y）得，
g（4）=g（2×2）=g（2）+g（2）=2，
（3）∵g（x）＞2+g（x+1）=g（4）+g（x+1）=g[4（x+1）]
∵g（x）為偶函數(shù)，∴g（|x|）＞g[|4（x+1）|]
由（1）得，g（x）在（0，+∞）為單調(diào)遞增函數(shù)，
∴

x≠0 x+1≠0 |x|＞|4(x+1)|

解得-

4

3

＜x＜-1或-1＜x＜-

4

5

，
綜上x的取值范圍為(-

4

3

，-1)∪(-1，

4

5

)．