Question

19．對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定義：設(shè)f″（x）是函數(shù)y=f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實數(shù)解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)：“任何一個三次函數(shù)都有‘拐點’；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心；且‘拐點’就是對稱中心．”請你將這一發(fā)現(xiàn)作為條件．
（Ⅰ）函數(shù)g（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+3x-\frac{5}{12}$的對稱中心為（$\frac{1}{2}$，1）；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+3x-\frac{5}{12}+\frac{1}{2x-1}$，則$g（\frac{1}{2015}）+g（\frac{2}{2015}）+g（\frac{3}{2015}）+…+g（\frac{2014}{2015}）$=2014．

Answer 1

分析 由題意對已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù)可得圖象關(guān)于點（$\frac{1}{2}$，1）對稱，即f（x）+f（1-x）=2，即可得到結(jié)論

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）=x²-x+3，
g″（x）=2x-1，
由g″（x₀）=0得2x₀-1=0
解得x₀=$\frac{1}{2}$，而f（$\frac{1}{2}$）=1，
故函數(shù)g（x）關(guān)于點（$\frac{1}{2}$，1）對稱，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）+g（1-x）=2，
故設(shè)$g（\frac{1}{2015}）+g（\frac{2}{2015}）+g（\frac{3}{2015}）+…+g（\frac{2014}{2015}）$=m，
則g（$\frac{2014}{2015}$）+g（$\frac{2013}{2015}$）+…+g（$\frac{1}{2015}$）=m，
兩式相加得2×2014=2m，
則m=2014．
故答案為：（$\frac{1}{2}$，1），2014．

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運算，利用條件求出函數(shù)的對稱中心是解決本題的關(guān)鍵．求和的過程中使用了倒序相加法．