Question

已知兩點A（-2，0）、B（2，0），動點P滿足．
（1）求動點P的軌跡E的方程；
（2）H是曲線E與y軸正半軸的交點，曲線E上是否存在兩點M、N，使得△HMN是以H為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請說明有幾個；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y）（y≠0），求PA、PB的斜率，利用，化簡可得動點P的軌跡E的方程；
（2）設(shè)能構(gòu)成等腰直角三角形HMN，其中H為（0，1），由題意可知，直角邊HM，HN不可能垂直或平行于x軸，故可設(shè)HM所在直線的方程為y=kx+1，（不妨設(shè)k＞0）則HN所在直線的方程為，確定交點M、N的坐標(biāo)，求出HN、HM的長，利用|HM|=|HN|，即可求得結(jié)論．
解答：解：（1）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y）（y≠0），則，，
∵，∴，化簡得，
∴動點P的軌跡E的方程為（y≠0）．注：如果未說明y≠0，扣（1分）．
（2）設(shè)能構(gòu)成等腰直角三角形HMN，其中H為（0，1），
由題意可知，直角邊HM，HN不可能垂直或平行于x軸，故可設(shè)HM所在直線的方程為y=kx+1，（不妨設(shè)k＞0）
則HN所在直線的方程為，由求得交點M，（另一交點H（0，1））
∴，
用代替上式中的k，得，
由|HM|=|HN|，得k（4+k²）=1+4k²，
∴k³-4k²+4k-1=0⇒（k-1）（k²-3k+1）=0，
解得：k=1或，
當(dāng)HM斜率k=1時，HN斜率-1；當(dāng)HM斜率時，HN斜率；當(dāng)HM斜率時，HN斜率，
綜上述，符合條件的三角形有3個．
點評：本題考查軌跡方程的求解，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是求出HN、HM的長，利用|HM|=|HN|進(jìn)行求解．