Question

過拋物線y²=2px（p＞0）的對稱軸上的定點M（m，0）（m＞0），作直線AB與拋物線相交于A，B兩點．
（1）試證明A，B兩點的縱坐標之積為定值；
（2）若點N是定直線l：x=-m上的任意一點，分別記直線AN，MN，BN的斜率為k₁、k₂、k₃，
試求k₁、k₂、k₃之間的關系，并給出證明．

Answer 1

分析：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設直線AB的方程為：x=ty+m與y²=2px聯(lián)立得y²=2px，x=ty+m，消去x得y²-2pty-2pm=0，再由韋達定理得y₁•y₂為定值；
（2）三條直線AN，MN，BN的斜率成等差數(shù)列，證明如下：設點N（-m，n），則直線AN的斜率為kAN=

y1-n

x1+m

；直線BN的斜率為kBN=

y2-n

x2+m

，由此能夠推導出k_AN+k_BN=2k_MN，即直線AN，MN，BN的斜率成等差數(shù)列．

解答：解：（1）證明：．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）有y₁•y₂=-2pm，下證之：
設直線AB的方程為：x=ty+m與y²=2px聯(lián)立得y²=2px
x=ty+m，消去x得y²-2pty-2pm=0（4分）
由韋達定理得y₁•y₂=-2pm，（6分）
（2）解：三條直線AN，MN，BN的斜率成等差數(shù)列，（9分）
下證之：
設點N（-m，n），則直線AN的斜率為kAN=

y1-n

x1+m

；
直線BN的斜率為kBN=

y2-n

x2+m

∴kAN+kBN=

y1-n

y12 2p +m

+

y2-n

y22 2p +m

=

2p(y1-n)

y12+2pm

+

2p(y2-n)

y22+2pm

=2p(

y1-n

y12-y1y2

+

y2-n

y22-y1y2

)=2p•

y2(y1-n)-y1(y2-n)

y1y2(y1-y2)

=2p•

n(y1-y2)

y 1y2(y1-y2)

=2p•

n

y1y2

=2p•

n

-2pm

=-

n

m

（13分）
又∵直線MN的斜率為kMN=

n-0

-m-m

=-

n

2m

（14分）
∴k_AN+k_BN=2k_MN，即直線AN，MN，BN的斜率成等差數(shù)列． （15分）

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要注意公式的合理運用．