Question

【題目】在數(shù)列{an}中，a1=1，an=nan-1，n=2，3，4，…

（I）計(jì)算a2，a3，a4，a5的值；

（Ⅱ）根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想{an}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．

Answer 1

【答案】（I）根據(jù)已知，a2=2，a3=6，a4=24，a5=120, （II）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：

(1)由遞推公式可得：a2=2，a3=6，a4=24，a5=120；

(2) 猜想{an}的通項(xiàng)公式為an=n!，利用數(shù)學(xué)歸納法的結(jié)論進(jìn)行證明即可.

試題解析：

（I）根據(jù)已知，a2=2，a3=6，a4=24，a5=120，

（II）猜想{an}的通項(xiàng)公式為an=n!，

證明：①當(dāng)n=1時(shí)，由已知a1=1；由猜想a1=1!=1，猜想成立，

②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*）時(shí)猜想成立，即ak=k !

則n=k+1時(shí)，ak+1=（k+1）ak=（k+1）·k!=（k+1）!，

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立，

由①和②可知，an=n!對(duì)于任意n∈N*都成立．