【題目】設函數f(x)= cos(2x+ )+sin2x
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)設函數g(x)對任意x∈R,有g(x+ )=g(x),且當x∈[0, ]時,g(x)= ﹣f(x),求g(x)在區(qū)間[﹣π,0]上的解析式.
【答案】解:函數f(x)= cos(2x+ )+sin2x
= cos2x﹣ sin2x+ (1﹣cos2x)= ﹣ sin2x.
(Ⅰ)函數的最小正周期為T= =π.
(Ⅱ)當x∈[0, ]時g(x)= = sin2x.
當x∈[﹣ ,0]時,x+ ∈[0, ],g(x)=g(x+ )= sin2(x+ )=﹣ sin2x.
當x∈[ )時,x+π∈[0, ],g(x)=g(x+π)= sin2(x+π)= sin2x.
g(x)在區(qū)間[﹣π,0]上的解析式:g(x)= .
【解析】利用兩角和的余弦函數以及二倍角公式化簡函數的表達式,
(Ⅰ)直接利用周期公式求解即可.(Ⅱ)求出函數g(x)的周期,利用x∈[0, ]時,g(x)= ﹣f(x),對x分類求出函數的解析式即可.
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【題目】設兩個向量 =(λ+2,λ2﹣cos2α)和 =(m, +sinα),其中λ,m,α為實數.若 =2 ,則 的取值范圍是( )
A.[﹣1,6]
B.[﹣6,1]
C.(﹣∞, ]
D.[4,8]
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【題目】已知數列{an}的前n項和為An , 對任意n∈N*滿足 ﹣ = ,且a1=1,數列{bn}滿足bn+2﹣2bn+1+bn=0(n∈N*),b3=5,其前9項和為63.
(1)求數列{an}和{bn}的通項公式;
(2)令cn= + ,數列{cn}的前n項和為Tn , 若對任意正整數n,都有Tn≥2n+a,求實數a的取值范圍;
(3)將數列{an},{bn}的項按照“當n為奇數時,an放在前面;當n為偶數時,bn放在前面”的要求進行“交叉排列”,得到一個新的數列:a1 , b1 , b2 , a2 , a3 , b3 , b4 , a4 , a5 , b5 , b6 , …,求這個新數列的前n項和Sn .
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【題目】在如圖所示的四棱錐S﹣ABCD中,SA⊥底面ABCD,∠DAB=∠ABC=90°,SA=AB=BC=a,AD=3a(a>0),E為線段BS上的一個動點.
(1)證明:DE和SC不可能垂直;
(2)當點E為線段BS的三等分點(靠近B)時,求二面角S﹣CD﹣E的余弦值.
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【題目】如圖,點F1(﹣c,0),F2(c,0)分別是橢圓C: (a>b>0)的左右焦點,經過F1做x軸的垂線交橢圓C的上半部分于點P,過點F2作直線PF2垂線交直線 于點Q.
(Ⅰ)如果點Q的坐標是(4,4),求此時橢圓C的方程;
(Ⅱ)證明:直線PQ與橢圓C只有一個交點.
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【題目】設f′(x)是函數f(x)的導函數,且f′(x)>2f(x)(x∈R),f()=e(e為自然對數的底數),則不等式f(lnx)<x2的解集為( 。
A.(0,)
B.(0,)
C.( , )
D.( , )
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【題目】已知等差數列{an}的前n項和為Sn,S4=40,Sn=210,Sn-4=130,則n=( )
A.12 B.14 C.16 D.18
【答案】B
【解析】Sn-Sn-4=an+an-1+an-2+an-3=80,S4=a1+a2+a3+a4=40,所以4(a1+an)=120,a1+an=30,由Sn==210,得n=14.
【題型】單選題
【結束】
9
【題目】等比數列{an}是遞減數列,前n項的積為Tn,若T13=4T9,則a8a15=( )
A. 2 B. ±2 C. 4 D. ±4
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【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn , 且Sn+2=2an(n∈N*).
(I)求數列{an}的通項公式;
(Ⅱ)設bn=log2an , 數列{}的前n項和為Tn , 證明:Tn<1.
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