Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且Sn+2=2an（n∈N*）．
（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)bn=log2an ， 數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為T(mén)n ， 證明：Tn＜1．

Answer 1

【答案】解：（I）由Sn+2=2an ，
當(dāng)n=1時(shí)，a1+2=2a1 ， 解得a1=2；
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn﹣1+2=2an﹣1有an=2an﹣2an﹣1 ， 即an=2an﹣1 ，
所以數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2×2n﹣1=2n ．
（Ⅱ）證明：由（I）得bn=log22n=n，
所以Tn=+++…+
=+++…+
=﹣+﹣+﹣+…+﹣
=1﹣＜1．
【解析】（I）求得數(shù)列的首項(xiàng)，將n換為n﹣1，相減可得an=2an﹣1 ， 運(yùn)用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到所求；
（Ⅱ）求得bn=log2an=n，=﹣ ， 再由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，以及不等式的性質(zhì)，即可得證。