Question

11．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=|x-a²|+|x+4|的最小值為4a．
（1）求a的值；
（2）不等式|x-a|-|x+a|≤|b+1|對(duì)任意的x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用絕對(duì)值的意義求得f（x）=|x-a²|+|x+4|的最小值，再根據(jù)它的最小值為4a，從而求得a的值．
（2）求得|x-a|-|x+a|的最大值為4，可得4≤|b+1|，由此求得b的范圍．

解答 解：（1）由題意可得函數(shù)f（x）=|x-a²|+|x+4|≥|a²+4|，故它的最小值為|a²+4|，
再根據(jù)它的最小值為4a，可得|a²+4|=4a，即a²+4=4a，求得a=2．
（2）不等式|x-2|-|x+2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離減去它到-2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，它的最大值為4，
不等式|x-a|-|x+a|≤|b+1|對(duì)任意的x∈R恒成立，可得4≤|b+1|，即b+1≥4，或b+1≤-4，
求得b≥3，或 b≤-5．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．