Question

如圖，l₁l₂是通過某市開發(fā)區(qū)中心O的南北和東西走向的兩條道路，連接M，N兩地的鐵路是一段拋物線弧，它所在的拋物線關(guān)于直線l₁對稱，M到l₁，l₂的距離分別是2km，4km；N到l₁，l₂的距離分別是3km，9km．該市擬在點O的正北方向建設(shè)一座工廠，要求廠址到點O的距離大于5km，而不超過8km，并且鐵路上任意一點到工廠的距離不能小于

6

km．則該廠離點O的最近距離為（工廠視為一點）（　�。�

• A、6km
• B、6.5km
• C、6.25km
• D、7km

Answer 1

考點：根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：分別以l₁、l₂為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則M，N的坐標(biāo)可知，設(shè)MN所在拋物線的方程把M和N代入即可求得a和c，則拋物線方程可得；設(shè)出拋物線上任一點P的坐標(biāo)，廠址為點A，進而根據(jù)兩點間的距離公式表示出|PA|，進而根據(jù)|PA|的范圍求得x和t的不等式關(guān)系，令u=x²，進而求得u的范圍，推斷出對于任意的u∈[4，9]，不等式u²+（1-2t）u+（t²-6）≥0恒成立，設(shè)f（u）=u²+（1-2t）u+（t²-6），根據(jù)t的范圍確定

9

2

＜-

1-2t

2

≤

15

2

，進而利用△≤0求得t的最小值．

解答： 解：分別以l₁、l₂為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則M（2，4），N（3，9），設(shè)MN所在拋物線的方程為y=ax²+c，則有

4=4a+c 9=9a+c

，解得a=1，c=0
∴所求方程為y=x²（2≤x≤3）
設(shè)拋物線弧上任意一點P（x，x²）（2≤x≤3）
廠址為點A（0，t）（5＜t≤8），由題意得|PA|=

x2+(x2-t)2

≥

6

∴x⁴+（1-2t）x²+（t²-6）≥0
令u=x²，∵2≤x≤3，∴4≤u≤9
∴對于任意的u∈[4，9]，不等式u²+（1-2t）u+（t²-6）≥0恒成立（*）
設(shè)f（u）=u²+（1-2t）u+（t²-6），∵5＜t≤8
∴

9

2

＜-

1-2t

2

≤

15

2

．
要使（*）恒成立，需△≤0，即（2t-1）²-4（t²-6）≤0
解得t≥

25

4

，∴t的最小值為6.26km
所以，該廠距離點O的最近距離為6.25km，
故選：C．

點評：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用．考查了學(xué)生分析問題和解決實際問題的能力．