Question

【題目】已知函數(shù).

(1)證明:在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)；

(2)令，若時(shí)有最大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）對(duì)求導(dǎo)得到，再對(duì)求導(dǎo)，得到，根據(jù)的正負(fù)，得到的單調(diào)性，再由定義域求出的正負(fù)，從而得到的單調(diào)性，由零點(diǎn)存在定理，進(jìn)行證明；（2）對(duì)求導(dǎo)，得到，令，根據(jù)（1）的結(jié)論，可得在上有唯一零點(diǎn)，再按和進(jìn)行分類，分別研究的單調(diào)性，從而得到有最大值時(shí)對(duì)的要求，得到答案.

(1)

易知在區(qū)間上恒成立，則在單調(diào)遞減

所以＝0，即f(x)在單調(diào)遞增，

又，則在區(qū)間必存在唯一零點(diǎn)

(2)

所以

令，則

由(1)知:則在單調(diào)遞增

又，即在上有唯一零點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，由得，所以在區(qū)間單調(diào)遞增;在區(qū)間單調(diào)遞減；此時(shí)h(x)存在最大值h(0)，滿足題意;

當(dāng)時(shí)，由有兩個(gè)不同零點(diǎn)x=0及，所以h(x)在區(qū)間(0，a)單調(diào)遞減；在區(qū)間，單調(diào)遞增;此時(shí)h(x)有極大值h(0)＝2a

由h(x)有最大值，可得;，解得，即

綜上所述:當(dāng)時(shí)，h(x)在有最大值