Question

如圖1，已知四邊形ABCD是上、下底長分別為2和6，高DO為2

3

的等腰梯形，將它沿DO折成120°的二面角A-DO-B，如圖2，連結(jié)AB，AC，BD，OC．

（Ⅰ）求三棱錐A-BOD的體積V；
（Ⅱ）證明：AC⊥BD；
（Ⅲ）求二面角D-AC-O的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角,空間向量及應用

分析：（Ⅰ）由圖形可以看出三棱錐A-BOD的體積等于三棱錐D-AOB的體積，而三棱錐D-AOB的體積可求，OD是高，所以根據(jù)三棱錐的體積公式即可求出V；
（Ⅱ）用已知到長度及位置關(guān)系的幾條邊所在向量表示向量

AC

，

BD

，并求出

AC

•

BD

=0即可；
（Ⅲ）根據(jù)OD⊥平面AOB，分別以OB，OD所在直線為y軸，z軸建立空間直角坐標系，根據(jù)已知條件求出A，O，C，D幾點的坐標，從而求出向量

AC

，

DC

，

OC

，的坐標，設平面ACD的法向量為

n1

=(x1，y1，1)，平面AOC的法向量為

n2

=(x2，y2，1)．根據(jù)

n1

⊥

AC

，

n1

⊥

DC

即可求出

n1

，同理可求得

n2

，通過圖形可看出這兩個法向量的夾角即等于二面角D-AC-O的大小，所以求這兩法向量夾角的余弦值即可．

解答： 解：（Ⅰ）如圖所示，OD⊥OA，OD⊥OB，OA∩OB=O，∴OD⊥平面AOB，∴OD是三棱錐D-AOB底面AOB的高；
∴V_A-BOD=V_D-AOB=

1

3

S△AOB•OD=

1

3

×

1

2

×2×4×

3

2

×2

3

=4，即三棱錐A-BOD的體積V=4；
（Ⅱ）

AC

•

BD

=(

AO

+

OD

+

DC

)•(

BO

+

OD

)=

AO

•

BO

+

AO

•

OD

+

OD

•

BO

+

OD

2+

DC

•

BO

+

DC

•

OD

=2×4×(-

1

2

)+(2

3

)2+2×4×(-1)=0；
∴

AC

⊥

BD

，即AC⊥BD；
（Ⅲ）由前面知，OD⊥平面AOB，所以以O為原點，OB，OD所在直線為y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標系；
則可確定以下幾點坐標：
O（0，0，0），A（

3

，-1，0），C（0，2，2

3

），D（0，0，2

3

）；
∴

AC

=(-

3

，3，2

3

)，

DC

=(0，2，0)；
設平面ACD的法向量為

n1

=(x1，y1，1)，平面ACO的法向量為

n2

=(x2，y2，1)，則：

n1 • AC =0 n1 • DC =0

，∴

- 3 x1+3y1+2 3 =0 2y1=0

，解得x₁=2，y₁=0，∴

n1

=(2，0，1)；
同理得

n2

=(-1，-

3

，1)；
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=-

1

5

，由圖可知，

n1

，

n2

的夾角和二面角D-AC-O的大小相等；
∴二面角D-AC-O的余弦值是-

1

5

．

點評：考查線面垂直的判定定理，三棱錐的體積公式，通過向量證明異面直線垂直的方法，通過建立空間直角坐標系利用向量求解二面角的方法，平面法向量的概念，向量夾角的余弦公式．