Question

3．已知sinα+sinβ=$\frac{1}{2}$，則sinα-cos²β的取值范圍是[-$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}$]．

Answer 1

分析 利用已知條件，化簡所求表達(dá)式只有一個角的三角函數(shù)的形式，通過三角函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)求解表達(dá)式的最值即可．

解答 解：sinα+sinβ=$\frac{1}{2}$，則sinα-cos²β=$\frac{1}{2}$-sinβ-（1-sin²β）=sin²β-sinβ-$\frac{1}{2}$=（sinβ-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{3}{4}$．
∵sinα+sinβ=$\frac{1}{2}$，∴sinβ∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴sinβ=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)取得最小值：-$\frac{3}{4}$．
sinβ=-$\frac{1}{2}$時，函數(shù)取得最大值：$\frac{1}{4}$．
故sinα-cos²β的取值范圍是[-$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}$]，
故答案為：[-$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}$]．

點評 本題考查三角函數(shù)的最值的求法，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力．