Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿(mǎn)足：
（1）a₁＜0，b₁＞0；
（2）當(dāng)時(shí)a_k=a_k-1，；當(dāng)時(shí)，，b_k=b_k-1（k≥2，k∈N^*）．
（Ⅰ）如果a₁=-3，b₁=7，試求a₂，b₂，a₃，b₃；
（Ⅱ）證明：數(shù)列{b_n-a_n}是一個(gè)等比數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)n（n≥2）是滿(mǎn)足b₁＞b₂＞b₃＞…＞b_n的最大整數(shù)，證明．

Answer 1

解：（1）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/521084.png' />，所以a₂=a₁=-3，
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/521086.png' />，所以，b₃=b₂=2
（2）證明：當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
因此不管哪種情況，都有，所以數(shù)列{b_n-a_n}是首項(xiàng)為b₁-a₁，
公比為的等比數(shù)列
（3）證明：由（2）可得
因?yàn)閎₁＞b₂＞b₃＞…＞b_n（n≥2），所以b_k≠b_k-1（2≤k≤n），
所以不成立，所以
此時(shí)對(duì)于2≤k≤n，都有a_k=a_k-1，，
于是a₁=a₂=…=a_n，所以
若，則，
所以，
所以b_n＞b_n+1，這與n是滿(mǎn)足b₁＞b₂＞b₃＞…＞b_n（n≥2）的最大整數(shù)相矛盾，
因此n是滿(mǎn)足的最小整數(shù)．，命題獲證
分析：（Ⅰ）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/521084.png' />，所以a₂=a₁=-3 依此類(lèi)推按照（2）的規(guī)則要求，判斷條件，代入計(jì)算．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的具體求項(xiàng)，應(yīng)得到一般的有，不難證得數(shù)列{b_n-a_n}是一個(gè)等比數(shù)列；
（Ⅲ）先確定必有 進(jìn)而，n是滿(mǎn)足的最小整數(shù)． 將此式轉(zhuǎn)化求證．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的判定、不等式的證明．要求具有閱讀能力、分析解決問(wèn)題、計(jì)算、分類(lèi)討論的意識(shí)和能力．屬于難題．