Question

①棱長(zhǎng)為1的正四面體與一個(gè)球①若正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，則這個(gè)球的表面積

3π

2

．
②若球與正四面體的六條棱都相切，則這個(gè)球的體積

2 π

24

．

Answer 1

分析：①把四面體補(bǔ)成正方體，兩者的外接球是同一個(gè)，求出正方體的棱長(zhǎng)，然后求出正方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，就是球的直徑，即可求出表面積；
②球與正四面體的六條棱都相切，球的直徑就是正四棱錐的對(duì)棱的距離，然后求出球的體積．

解答：解：①將四面體補(bǔ)成正方體，則正方體的棱長(zhǎng)是

2

2

，正方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為：

6

2

，
則此球的表面積為：4π×(

6

4

)2=

3

2

π．
②若球與正四面體的六條棱都相切，則這個(gè)球的直徑就是正四棱錐的對(duì)棱的距離，

( 3 2 )2-( 1 2 )2

=

2

2

．半徑為

2

4

，球的體積為：

4π

3

(

2

4

)3=

2 π

24

；
故答案為：

3

2

π；

2 π

24

．

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查空間想象能力，正四面體的外接球轉(zhuǎn)化為正方體外接球，使得問(wèn)題的難度得到降低，問(wèn)題得到解決，注意正方體的對(duì)角線(xiàn)就是球的直徑，也是比較重要的．