【題目】已知函數(shù),其中

(Ⅰ)若函數(shù)處的切線與直線垂直,求的值;

(Ⅱ)討論函數(shù)極值點的個數(shù),并說明理由;

(Ⅲ)若, 恒成立,求的取值范圍.

【答案】(1);(2)當(dāng)時,函數(shù)有一個極值點;當(dāng)時,函數(shù)無極值點;當(dāng)時,函數(shù)有兩個極值點;(3).

【解析】試題分析:(Ⅰ)對函數(shù)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率,結(jié)合切線與直線垂直,可求得的值;(Ⅱ)根據(jù),令.對分類討論可得:(1)當(dāng)時,此時,即可得出函數(shù)的單調(diào)性與極值的情況;(2)當(dāng)時, ,①當(dāng)時, ,②當(dāng)時, ,即可得出函數(shù)的單調(diào)性與極值的情況;(3)當(dāng)時, ,即可得出函數(shù)的單調(diào)性與極值的情況;(Ⅲ)由(Ⅱ)可知:(1)當(dāng)時,可得函數(shù)上單調(diào)性,即可判斷出;(2)當(dāng)時,由,可得,函數(shù)上單調(diào)性,即可判斷出;(3)當(dāng)時,設(shè),研究其單調(diào)性,即可判斷.

試題解析:(Ⅰ)因為,由處的切線與直線垂直,

可知,所以

(Ⅱ)由題意知,函數(shù)的定義域為,

, .

(i)當(dāng)時, ,此時,函數(shù)單調(diào)遞增,無極值點;

(ii)當(dāng)時,方程的判別式.

①當(dāng)時, , ,函數(shù)單調(diào)遞增,無極值點;

②當(dāng)時, ,設(shè)方程的兩根為, ,因為,

的對稱軸方程為,所以, ,由,

可得 .

所以當(dāng)時, ,函數(shù)單調(diào)遞增;

當(dāng)時, , ,函數(shù)單調(diào)遞減;

當(dāng)時, , ,函數(shù)單調(diào)遞增.因此函數(shù)有兩個極值點.

(iii)當(dāng)時, ,由,可得,

當(dāng)時, , ,函數(shù)單調(diào)遞增;

當(dāng)時, , ,函數(shù)單調(diào)遞減,所以函數(shù)有一個極值點.

綜上所述,當(dāng)時,函數(shù)有一個極值點;

當(dāng)時,函數(shù)無極值點;

當(dāng)時,函數(shù)有兩個極值點.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,

①當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增,因為,所以時, ,符合題意;

②當(dāng)時, ,得,函數(shù)上單調(diào)遞增,又,所以時, ,符合題意;

③當(dāng)時,設(shè),因為時,所以 ,所以上單調(diào)遞增,所以,即,可得 ,而當(dāng)時, ,即此時,不符合題意.

綜上所述, 的取值范圍是.

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