Question

已知，p={x|x²-8x-20≤0}，S={x||x-1|≤m}
（1）若p∪S⊆p，求實數m的取值范圍；
（2）是否存在實數m，使“x∈p”是“x∈S”的充要條件，若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意p∪S⊆p，則S⊆P．
由|x-1|≤m，可得1-m≤x≤m+1，
要使S⊆P，則
∴m≤3．
綜上，可知m≤3時，有p∪S⊆p；
（2）由題意x∈P是x∈S的充要條件，則P=S．
由x²-8x-20≤0?-2≤x≤10，
∴P=[-2，10]．
由|x-1|≤m?1-m≤x≤1+m，∴S=[1-m，1+m]．
要使P=S，則 ∴
∴這樣的m不存在．
分析：（1）根據p∪S⊆p，表示S?P，利用集合包含關系，的判定方法，我們可以構造一個關于m的不等式組，解不等式組即可得到m的范圍；（2）x∈P是x∈S的充要條件，表示P=S，根據集合相等的判定方法，我們可以構造一個關于m的方程組，若方程組有解，說明存在實數m，使x∈P是x∈S的充要條件，若方程無解，則說明不存在實數m，使x∈P是x∈S的充要條件；
點評：本題考查的知識點是二次不等式的解法、絕對值不等式的解法，及集合包含關系與充要條件之間的轉化，其中解決問題的核心是集合包含關系與充要條件之間的轉化原則，即“誰小誰充分，誰大誰必要”，屬中檔題．