Question

5．已知函數(shù)f（x）=log₂（x-$\frac{1}{x}$），x∈[a，+∞）的值域?yàn)閇0，+∞），則實(shí)數(shù)a的值為$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．

Answer 1

分析 由已知中函數(shù)的定義域可得a＞0，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，分析函數(shù)為增函數(shù)后，可得當(dāng)x=a時，a-$\frac{1}{a}$=1，解得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=log₂（x-$\frac{1}{x}$），x∈[a，+∞），
則a＞0，
由y=log₂x在定義域上為增函數(shù)，y=x-$\frac{1}{x}$在[a，+∞）上為增函數(shù)，
故函數(shù)f（x）=log₂（x-$\frac{1}{x}$）在[a，+∞）上為增函數(shù)，
若函數(shù)f（x）=log₂（x-$\frac{1}{x}$），x∈[a，+∞）的值域?yàn)閇0，+∞），
故當(dāng)x=a時，a-$\frac{1}{a}$=1，
解得：a=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，或a=$\frac{-\sqrt{5}+1}{2}$（舍去）
故實(shí)數(shù)a的值為$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度中檔．