Question

【題目】已知二次函數(shù)，設(shè)是函數(shù)在上的最大值．

（1）當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的解析式；

（2）若對(duì)任意的，恒有，求滿足條件的所有實(shí)數(shù)對(duì)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：本題表面上是新定義問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上新定義僅僅是最大值的另一種說(shuō)法，（1）問(wèn)題就是求在區(qū)間上的最大值，由于絕對(duì)值符號(hào)里面的式子是二次的，對(duì)稱軸是，因此其在區(qū)間上遞減，從而只要考慮和的大小可得結(jié)論；（2）首先要求，從（1）的研究知，須按對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系分類，當(dāng)或時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)，因此有，，下面對(duì)此式進(jìn)行放縮，有

，研究這里三個(gè)不等號(hào)取等號(hào)的條件可得，當(dāng)時(shí)，還需分類討論到底有還是有，（按的大小分類，也即1,2哪個(gè)離對(duì)稱軸遠(yuǎn)），同上進(jìn)行放縮以求得取最小值時(shí)的，比較的最小值可得．

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，故在上的值域?yàn)?/span>．

從而；

（2）函數(shù)的對(duì)稱軸為，下面討論的大小關(guān)系來(lái)確定的單調(diào)性．

①當(dāng)或時(shí)，在上單調(diào)，又，，

不等號(hào)1,2,3取到等號(hào)的條件分別為或，

從而或

②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，

，

ⅰ）當(dāng)時(shí)，

不等號(hào)1,2,3取到等號(hào)的條件分別為，故．

ⅱ）當(dāng)時(shí)，

不等號(hào)1,2,3取到等號(hào)的條件分別為，故，這與矛盾．

綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，對(duì)任意的，恒有，

故滿足條件的所有實(shí)數(shù)對(duì)為．