Question

16．?dāng)?shù)列{a_n}中，前n項(xiàng)和為S_n，a₁≠a₂，S_n=pna_n．
  （1）求p的值；
  （2）確定數(shù)列{a_n}是否為等差數(shù)列或等比數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）由題設(shè)條件知若p=1時(shí)，a₁=a₂，與已知矛盾，故p≠1，則a₁=0．n=2時(shí)，（2p-1）a₂=0，則p=$\frac{1}{2}$；
（2）由題設(shè)條件知$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n-1}{n-2}$．則$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}=\frac{n-2}{n-3}$，…，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{2}{1}$．由此可知{a_n}是以a₂為公差，以a₁為首項(xiàng)的等差數(shù)列．

解答 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=pa₁，若p=1時(shí)，a₁+a₂=2pa₂=2a₂，
∴a₁=a₂，與已知矛盾，故p≠1．則a₁=0．
當(dāng)n=2時(shí)，a₁+a₂=2pa₂，∴（2p-1）a₂=0．
∵a₁≠a₂，故p=$\frac{1}{2}$；
（2）由已知S_n=$\frac{1}{2}$na_n，a₁=0．
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$na_n-$\frac{1}{2}$（n-1）a_n-1．
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{n-1}{n-2}$．
則$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}=\frac{n-2}{n-3}$，…，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{2}{1}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{2}}$=n-1．則a_n=（n-1）a₂，
∴a_n-a_n-1=a₂．
故{a_n}是以a₂為公差，以a₁為首項(xiàng)的等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了由S_n求a_n的問(wèn)題，體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)變化的思想方法，屬中檔題．