【題目】如圖,在三棱錐中,平面平面,為棱上的一點(diǎn),且,為棱的中點(diǎn),為棱上的一點(diǎn),若平面,是邊長(zhǎng)為4的正三角形,,.
(1)求證:平面平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)
【解析】
(1)要證平面平面轉(zhuǎn)證平面,結(jié)合條件面面垂直可證;
(2)先證明平面以為坐標(biāo)原點(diǎn),,,所在直線分別為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法即可求出直線與平面所成角的正弦值.
(1)取的中點(diǎn),連結(jié),
因?yàn)?/span>,所以,
因?yàn)?/span>平面,平面,
平面平面,所以,
又因?yàn)?/span>,所以,
所以為的中點(diǎn),又因?yàn)?/span>為的中點(diǎn),
所以,所以,
因?yàn)槠矫?/span>平面,平面平面,
平面,所以平面,
因?yàn)?/span>平面,所以平面平面.
(2)由(1)可知,
在中,由余弦定理得,所以,
所以,所以,
因?yàn)槠矫?/span>平面,平面平面,
所以平面.
以為坐標(biāo)原點(diǎn),,,所在直線分別為軸,軸,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,
所以,,
設(shè)平面的法向量為,
由得,取,則,,所以.
又,,,
設(shè)直線平面所成角為.
則 ,
所以直線與平面所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列四個(gè)命題:
①函數(shù)的最大值為1;
②已知集合,則集合A的真子集個(gè)數(shù)為3;
③若為銳角三角形,則有;
④“”是“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的充分必要條件.
其中正確的命題是______.(填序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓 的離心率為,過(guò)橢圓的焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的弦長(zhǎng)為1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)M為橢圓上第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),A,B分別為橢圓的左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn),直線MB與x軸交于點(diǎn)C,直線MA與y軸交于點(diǎn)D,求證:四邊形ABCD的面積為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】試問(wèn):能否把2008表示成的形式?如果可以,這種表示方式是否有無(wú)限多個(gè)?其中,m、n均為大于100且小于170的正整數(shù),且;均為兩兩不相等的小于6的正有理數(shù),且均為大于1且小于5的正整數(shù),同時(shí), 兩兩不相等,也兩兩不相等請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x,g(x)=2x+a,若x1∈[,1],x2∈[2,3],使得f(x1)≥g(x2),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.a≤1B.a≥1C.a≤2D.a≥2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)F為拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),點(diǎn)A(2,m)在拋物線E上,且|AF|=3,
(1)求拋物線E的方程;
(2)已知點(diǎn)G(﹣1,0),延長(zhǎng)AF交拋物線E于點(diǎn)B,證明:以點(diǎn)F為圓心且與直線GA相切的圓,必與直線GB相切.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】推進(jìn)垃圾分類處理,是落實(shí)綠色發(fā)展理念的必然選擇,也是打贏污染防治攻堅(jiān)戰(zhàn)的重要環(huán)節(jié).為了解居民對(duì)垃圾分類的了解程度,某社區(qū)居委會(huì)隨機(jī)抽取1000名社區(qū)居民參與問(wèn)卷測(cè)試,并將問(wèn)卷得分繪制頻率分布表如表:
得分 | |||||||
男性 人數(shù) | 40 | 90 | 120 | 130 | 110 | 60 | 30 |
女性 人數(shù) | 20 | 50 | 80 | 110 | 100 | 40 | 20 |
(1)從該社區(qū)隨機(jī)抽取一名居民參與問(wèn)卷測(cè)試,試估計(jì)其得分不低于60分的概率;
(2)將居民對(duì)垃圾分類的了解程度分為“比較了解”(得分不低于60分)和“不太了解”(得分低于60分)兩類,完成2×2列聯(lián)表,并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“居民對(duì)垃圾分類的了解程度”與“性別”有關(guān)?
不太了解 | 比較了解 | 合計(jì) | |
男性 | |||
女性 | |||
合計(jì) |
(3)從參與問(wèn)卷測(cè)試且得分不低于80分的居民中,按照性別進(jìn)行分層抽樣,共抽取10人,現(xiàn)從這10人中隨機(jī)抽取3人作為環(huán)保宣傳隊(duì)長(zhǎng),設(shè)3人中男性隊(duì)長(zhǎng)的人數(shù)為ξ,求ξ的分布列和期望.
附:,(n=a+b+c+d).
臨界值表:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若的圖像過(guò)點(diǎn),且在點(diǎn)處的切線方程為,試求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),若函數(shù)恒成立,求整數(shù)的最小值.
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