Question

18．已知a∈（0，$\frac{π}{2}$），且2sin²α-sinαcosα-3cos²α=0，則$\frac{sin（α+\frac{π}{2}）}{sin2α+cos2α+1}$$\frac{\sqrt{13}}{10}$．

Answer 1

分析 利用已知條件求出tanα的值，然后求解所求表達(dá)式的值．

解答 解：α∈（0，$\frac{π}{2}$），且2sin²α-sinαcosα-3cos²α=0，
所以2tan²α-tanα-3=0，解得tanα=$\frac{3}{2}$，tanα=-$\frac{1}{2}$（舍去）
cosα=$\sqrt{\frac{{cos}^{2}α}{{sin}^{2}α+{cos}^{2}α}}$=$\sqrt{\frac{1}{{tan}^{2}α+1}}$=$\sqrt{\frac{4}{13}}$，sinα=$\sqrt{1-\frac{4}{13}}$=$\frac{3}{\sqrt{13}}$
$\frac{sin（α+\frac{π}{2}）}{sin2α+cos2α+1}$=$\frac{cosα}{2sinαcosα+2{cos}^{2}α}$=$\frac{1}{2×\frac{3}{\sqrt{13}}+2×\frac{2}{\sqrt{13}}}$=$\frac{\sqrt{13}}{10}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{13}}{10}$，

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．