在△ABC中，AC=10，過(guò)頂點(diǎn)C作AB的垂線(xiàn)，垂足為D，AD=5，且滿(mǎn)足
AD
=
5
11
DB
．
（1）求|
AB
-
AC
|；
（2）存在實(shí)數(shù)t≥1，使得向量x=
AB
+t
AC
 ， y=t
AB
+
AC
，令k=x•y，求k的最小值．
分析：（1）將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為邊的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理，即可求解；
（2）先求cosA，再利用向量的數(shù)量積公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到二次函數(shù)，從而可求最小值．
解答：解：（1）∵AD=5，且滿(mǎn)足
AD
=
5
11
DB
．
∴A，B，D三點(diǎn)共線(xiàn)，且DB=11
在Rt△ADC中，CD2=AC2-AD2=75，
在Rt△BDC中，BC2=DB2+CD2=196，∴BC=14
∴|
AB
-
AC
|=|
CB
|=14；
（2）由（1），利用余弦定理，可得cosA=
256+100-196
2•16•10
=
1
2

∵
x
=
AB
+t
AC
 ， 
y
=t
AB
+
AC

∴k=
x
•
y
=t|
AB
|2+(t2+1)
AC
•
AB
+t|
AC
|2=80t2+356t+80
∵t≥1，
∴t=1時(shí)，k取得最小值為516．
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)，考查向量的數(shù)量積公式，考查二次函數(shù)的最值，正確運(yùn)用向量的數(shù)量積公式是關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在△ABC中，AC=2，BC=1，cosC=
34
．
（1）求AB的值；
（2）求sin（2A+C）的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，AC=
3
，∠A=45°，∠C=75°，則BC的長(zhǎng)度是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在△ABC中，AC=BC，AB=2，O為AB的中點(diǎn)，沿OC將△AOC折起到△A′OC的位置，使得直線(xiàn)A′B與平面ABC成30°角．
（1）若點(diǎn)A′到直線(xiàn)BC的距離為l，求二面角A′-BC-A的大��；
（2）若∠A′CB+∠OCB=π，求BC邊的長(zhǎng)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在△ABC中，AC=2，BC=1，sinC=
35
，則AB的長(zhǎng)為
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），A（x1，y1），B（x2，y2）定義它們之間的一種“距離”：||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|．給出下列三個(gè)命題：
①若點(diǎn)C在線(xiàn)段AB上，則||AC||+||CB||=||AB||；
②在△ABC中，||AC||+||CB||＞||AB||；
③在△ABC中，若∠A=90°，則||AB||2+||AC||2=||BC||2．
其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（　　）
A、0B、1C、2D、3

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案