Question

9．集合A={m+$\sqrt{3}$n|m²-3n²=1，且m，n∈Z}，試求一個(gè)屬于A的元素a，再求和$\frac{a}{2+\sqrt{3}}$，并判斷它們是否屬于A？

Answer 1

分析 解：若a∈A，則a=m+n$\sqrt{3}$且m²-3n²=1，m，n∈Z，進(jìn)而得到$\frac{1}{a}$，$\frac{a}{2+\sqrt{3}}$均滿(mǎn)足集合A的性質(zhì)，進(jìn)而得到結(jié)論；

解答 解：若a∈A，則a=m+n$\sqrt{3}$且m²-3n²=1，m，n∈Z，
則$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{m+n\sqrt{3}}$=$\frac{m-n\sqrt{3}}{{m}^{2}-3{n}^{2}}$=m-n$\sqrt{3}$=m+（-n）$\sqrt{3}$且m²-3（-n）²=1，m，-n∈Z，
故$\frac{1}{a}$∈A，
則$\frac{a}{2+\sqrt{3}}$=（2-$\sqrt{3}$）（m+n$\sqrt{3}$）=（2m-3n）+（2n-m）$\sqrt{3}$，
此時(shí)（2m-3n）²-3（2n-m）²=m²-3n²=1，
故$\frac{a}{2+\sqrt{3}}$∈A；

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是集合與元素之間的關(guān)系，對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，是集合，函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔．