Question

設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=（

5

2

）^x，若對(duì)任意的x∈[a，a+l]，不等式f（x+a）≥f²（x）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)，求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，然后將不等式f（x+a）≥f²（x）化簡(jiǎn)，對(duì)a進(jìn)行討論，將x解出來(lái)，做到參數(shù)分離，由恒成立思想，即可求出a的范圍．

解答： 解：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=（

5

2

）^x
又f（x）為R上的偶函數(shù)，
∴f（x）=（

5

2

）^|x|（x∈R），
∴f（x+a）≥f²（x）
即(

5

2

)|x+a|≥(

5

2

)|2x|，
∴|x+a|≥|2x|，
即（3x+a）（x-a）≤0，
當(dāng)a≤0時(shí)，a≤x≤-

a

3

，
由于對(duì)任意的x∈[a，a+l]，不等式f（x+a）≥f²（x）恒成立，
∴a≤a且a+1≤-

a

3

，解得a≤-

3

4

；
當(dāng)a＞0時(shí)，-

a

3

≤x≤a，
∴-

a

3

≤a且a+1≤a，a無(wú)解，
綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：a≤-

3

4

．
故答案為：a≤-

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性及運(yùn)用，求出函數(shù)在定義域上的解析式是解題的關(guān)鍵，考查解決恒成立問(wèn)題的常用方法：參數(shù)分離，必須掌握．