如圖長方體中，底面是正方形，是的中點(diǎn)，是棱上任意一點(diǎn).

⑴求證：；

⑵如果，求的長.

 

【答案】

（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）要證線線垂直，一般可先證線面垂直，這個(gè)平面要包含其中一條直線，本題中有許多垂直關(guān)系，如，而平面，因此有平面，正好是平面內(nèi)的直線，問題得證；（2）我們采取空間問題平面化，所有條件都可在矩形內(nèi)，利用平面幾何知識(shí)解題，由于，則有，這兩個(gè)三角形中，有，又，這時(shí)可求出，從而求出的長．

試題解析：（1）是正方形，∴，又長方體的側(cè)棱平面，∴,

，故有平面，又，∴．        7分

（2）在長方體中，是矩形，由，得，∴，從而，∴，又底面正方形的邊長為2，故，，又，∴，從而．        14分

說明：用空間向量知識(shí)求解相應(yīng)給分．

考點(diǎn)：（1）空間兩直線垂直；（2）求線段長．

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年江蘇阜寧中學(xué)高三上學(xué)期第三次調(diào)研測(cè)試文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖長方體中，底面是正方形，是的中點(diǎn)，是棱上任意一點(diǎn).

⑴求證：；

⑵如果，求的長.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013屆廣東省高二下期末文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

 (本小題滿分14分)

如圖所示的長方體中，底面是邊長為的正方形，為與的交點(diǎn)，，是線段的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；

(2)求三棱錐D1-ABC的體積．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（安徽卷解析版） 題型：解答題

如圖，長方體中，底面是正方形，是的中點(diǎn)，是棱上任意一點(diǎn)。

（Ⅰ）證明： ；

（Ⅱ）如果=2 ,=,, 求 的長。

 【解析】（Ⅰ）因底面是正方形，故，又側(cè)棱垂直底面，可得,而,所以面，因,所以面,又面，所以 ；

（Ⅱ）因=2 ,=,,可得,,設(shè)，由得，即，解得，即 的長為。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011學(xué)年廣東省高三第一次月考理科數(shù)學(xué)卷 題型：解答題

（本小題滿分14分）

如圖所示的長方體中，底面是邊長為的正方形，為與的交點(diǎn)，，是線段的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求二面角的大小．

                              

 

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