Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，且AB=，BC=1，E，F(xiàn)分別為AB，PC中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABCD，求證：DE⊥平面PAC．

Answer 1

證明：（Ⅰ）證明：（1）方法一：取線段PD的中點(diǎn)M，連接FM，AM．
因?yàn)镕為PC的中點(diǎn)，所以FM∥CD，且FM=CD．
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，E為AB的中點(diǎn)，
所以EA∥CD，且EA=CD．
所以FM∥EA，且FM=EA．
所以四邊形AEFM為平行四邊形．
所以EF∥AM．
又AM?平面PAD，EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD．
方法二：連接CE并延長交DA的延長線于N，連接PN．
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以AD∥BC，
所以∠BCE=∠ANE，∠CBE=∠NAE．
又AE=EB，所以△CEB≌△NEA．所以CE=NE．
又F為PC的中點(diǎn)，所以EF∥NP．
又NP?平面PAD，EF?平面PAD，所以EF∥平面PAD．
方法三：取CD的中點(diǎn)Q，連接FQ，EQ．
在矩形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，所以AE=DQ，且AE∥DQ．
所以四邊形AEQD為平行四邊形，所以EQ∥AD．
又AD?平面PAD，EQ?平面PAD，所以EQ∥平面PAD．
因?yàn)镼，F(xiàn)分別為CD，CP的中點(diǎn)，所以FQ∥PD．
又PD?平面PAD，F(xiàn)Q?平面PAD，所以FQ∥平面PAD．
又FQ，EQ?平面EQF，F(xiàn)Q∩EQ=Q，所以平面EQF∥平面PAD．
因?yàn)镋F?平面EQF，所以EF∥平面PAD．
（Ⅱ）在底面矩形ABCD中連接DE，
AB=，BC=1，E為AB中點(diǎn)
則tan∠ADE=，tan∠BAC==，
∴∠ADE=∠BAC，
∵∠DEA+∠ADE=90°，
∴∠BAC+∠DEA=90°，
∴DE⊥AC，
∵平面PAC⊥平面ABCDB且交線為AC，
∴DE⊥平面PAC．
分析：（Ⅰ）法一：取線段PD的中點(diǎn)M，連接FM，AM．根據(jù)線面平行的判定定理，只需證明EF∥AM；
法二：連接CE并延長交DA的延長線于N，連接PN，根據(jù)線面平行的判定定理，只需證明EF∥NP；
法三：取CD的中點(diǎn)Q，連接FQ，EQ．根據(jù)面面平行的性質(zhì)，只需證明平面EQF∥平面PAD；
（Ⅱ）在底面矩形ABCD中連接DE，因?yàn)槠矫鍼AC⊥平面ABCD，所以要證明DE⊥平面PAC，只需證明DE⊥AC，可證∠BAC+∠DEA=90°，通過計(jì)算可得∠ADE=∠BAC，由此可得到結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查線面平行的判定定理以及面面平行、面面垂直的性質(zhì)定理，考查學(xué)生的推理論證能力，考查轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用．