Question

6．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-a²x+2．
（1）若a=1，求y=f（x）的極值； 
（2）討論f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）將a=1代入函數(shù)的表達式，求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，從而得到函數(shù)的單調區(qū)間，進而求出函數(shù)的極值；
（2）先求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，從而求出函數(shù)的單調區(qū)間．

解答 解：（1）a=1時，f（x）=x³+x²-x+2，
∴f′（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{3}$或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜$\frac{1}{3}$，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-1），（$\frac{1}{3}$，+∞）遞增，在（-1，$\frac{1}{3}$）遞減，
∴極大值為f（-1）=4，極小值為$f（\frac{1}{3}）=\frac{49}{27}$；
（2）∵f′（x）=3x²+2ax-a²=（3x-a）（x+a），
當a=0時，f′（x）=3x²≥0，f（x）的單調增區(qū)間為（-∞，+∞），
當a＞0時，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{a}{3}$或x＜-a，令f′（x）＜0，解得：-a＜x＜$\frac{a}{3}$，
∴f（x）的增區(qū)間為（-∞，-a）和$（\frac{a}{3}，+∞）$，減區(qū)間為$（-a，\frac{a}{3}）$，
當a＜0時，令f′（x）＞0，解得：x＞-a或x＜$\frac{a}{3}$，令f′（x）＜0，解得：$\frac{a}{3}$＜x＜-a，
∴f（x）的增區(qū)間為$（-∞，\frac{a}{3}）$和（-a，+∞），減區(qū)間為$（\frac{a}{3}，-a）$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、極值問題，考查導數(shù)的應用，考查分類討論思想，是一道中檔題．