Question

已知函數(shù)f（x）=

1+lnx

x

．
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）當(dāng)x≥1時，不等式f（x）≥

k

x+1

恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求f′（x），通過對f′（x）的判斷，得到f（x）在（0，+∞）上的極大值為f（1）=1，該值也是最大值；
（Ⅱ）由原不等式得：k≤

(x+1)(1+lnx)

x

，令g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

，求g（x）在[1，+∞）上的最小值即可．求g′（x）=

x-lnx

x2

，能夠判斷函數(shù)x-lnx在[1，+∞）上是增函數(shù)，最小值為1＞0．所以在得到x≥1時g′（x）＞0，所以g（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，最小值為g（1）=2，所以k≤2，所以k的取值范圍是（-∞，2]．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f （x）定義域為（0，+∞），f′（x）=-

lnx

x2

；
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0，當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0；
∴f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
∴函數(shù)f （x）在x=1處取得極大值，也是最大值1；
（Ⅱ）由原不等式得：k≤

(x+1)(1+lnx)

x

，令g（x）=

(x+1)(1+lnx)

x

，則：
g′（x）=

x-lnx

x2

，令h（x）=x-lnx，則：
h′（x）=1-

1

x

，∴x≥1時，h′（x）≥0，即h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，∴h（x）≥h（1）=1＞0；
∴x≥1時，g′（x）＞0；
∴g （x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，g（x）在[1，+∞）上的最小值為g（1）=2；
因此，k≤2，即實數(shù)k的取值范圍為（-∞，2]．

點評：考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，極大值的概念，以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求最小值．