Question

已知函數(shù)f（x）=ax³-3x．
（1）當(dāng)a≤0時(shí)，求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值為4，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專(zhuān)題：分類(lèi)討論,轉(zhuǎn)化思想

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合參數(shù)條件，判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得出函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值，即得到參數(shù)的一個(gè)方程，從而求出參數(shù)的值．

解答： 解：（1）解：∵f（x）=ax³-3x，
∴f′（x）=3ax²-3，
∵a≤0，所以f′（x）＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈R恒成立，
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，+∞）．
（2）當(dāng)a≤0時(shí)，由（1）可知，f（x）在區(qū)間[1，2]是減函數(shù)，
由f（2）=4得a=

5

4

，（不符合舍去），
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=3ax²-3=0的兩根x=±

1 a

，
①當(dāng)

1 a

≤1，即a≥1時(shí)，f′（x）≥0在區(qū)間[1，2]恒成立，f（x）在區(qū)間[1，2]是增函數(shù)，由f（1）=4得a=7；
②當(dāng)

1 a

≥2，即0＜a≤

1

4

時(shí)　f′（x）≤0在區(qū)間[1，2]恒成立　f（x）在區(qū)間[1，2]是減函數(shù)，f（2）=4，a=

5

4

（不符合舍去）；
③當(dāng)1＜

1 a

＜2，即

1

4

＜a＜1時(shí)，f（x）在區(qū)間[1，

1 a

]是減函數(shù)，f（x）在區(qū)間[

1 a

，2]是增函數(shù)；所以f(

1

a

)=4無(wú)解．
綜上，a=7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是導(dǎo)數(shù)知識(shí)，重點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，難點(diǎn)是分類(lèi)討論．對(duì)學(xué)生的能力要求較高，屬于難題．