Question

已知sin

x

2

-2cos

x

2

=0．
（I）求tanx的值；
（Ⅱ）求

cos2x

2 cos( π 4 -x)•sinx

的值．

Answer 1

考點：同角三角函數基本關系的運用,角的變換、收縮變換

專題：三角函數的求值

分析：（I）已知等式變形，利用同角三角函數間的基本關系求出tan

x

2

的值，利用二倍角的正切函數公式化簡求出tanx的值；
（Ⅱ）原式分子利用二倍角的余弦函數公式化簡，分母利用兩角和與差的余弦函數公式化簡，整理后分子分母除以cos²x，利用同角三角函數間的基本關系變形后，將tanx的值代入計算即可求出值．

解答： 解：（I）由sin

x

2

-2cos

x

2

=0，得到tan

x

2

=2，
則tanx=

2tan x 2

1-tan2 x 2

=

2×2

1-4

=-

4

3

；
（Ⅱ） 由（I）知tanx=-

4

3

，∴cosx≠0，
∴

cos2x

2 cos( π 4 -x)•sinx

=

cos2x-sin2x

2 ( 2 2 cosx+ 2 2 sinx)sinx

=

cos2x-sin2x

sinxcosx+sin2x

=

1-tan2x

tanx+tan2x

=

1- 16 9

- 4 3 + 16 9

=-

7

4

．

點評：此題考查了同角三角函數基本關系的應用，以及二倍角的正切函數公式，熟練掌握基本關系是解本題的關鍵．