已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）它的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1（-5
3
，0），F(xiàn)2（5
3
，0），P為橢圓E上一點(diǎn)（點(diǎn)P在第三象限），且△F1 F2的周長(zhǎng)等于20+10
3
．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過(guò)橢圓E的左頂點(diǎn)M與點(diǎn)C（-2，0），直線(xiàn)MP交圓P于另一點(diǎn)N，試在橢圓E上找一點(diǎn)A，使得
AM
•
AN
取得最小值，并求出最小值．
分析：（I）由題意可得，|F1F2|=10
3
=2c，又|PF1|+|PF2|=2a，結(jié)合2a+2c=20+10
3
可求a，c，然后由b2=a2-c2可求b，進(jìn)而可求橢圓方程
（II）法一：由（I）可得M（-10，0），C（-2，0），設(shè)P（m，n），則由圓的性質(zhì)可得m=
-10-2
2
=-6，結(jié)合P在橢圓上可求m，n，即可得P，由題意P為MN的中點(diǎn)，可得N設(shè)A（x，y），然后代入
AM
•
AN
=(-10-x)(-2-x)+(-y)(-8-y)=（x+6）2+（y+4）2-32，可求
（II）解法二：同（I）可求P（-6，-4），設(shè)A（x，y），
PM
=-
PN
，代入
AM
•
AN
=(
AP
+
PM
)•(
AP
+
PN
)=|
AP
|2-32，可求最小值
解答：解：（I）由題意可得，|F1F2|=10
3
=2c，又|PF1|+|PF2|=2a
則有2a+2c=20+10
3

∴a=10
由b2=a2-c2=25
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
100
+
y2
25
=1
（II）由（I）可得M（-10，0），C（-2，0），設(shè)P（m，n），則有m=
-10-2
2
=-6
又
m2
100
+
n2
25
=1
∴n=-4即P（-6，-4）
∵P為MN的中點(diǎn)，可得N（-2，-8），設(shè)A（x，y）
∴
AM
=(-10-x，-y)，
AN
=(-2-x，-8-y)
∴
AM
•
AN
=(-10-x)(-2-x)+(-y)(-8-y)
=x2+12x+20+y2+8y
=（x+6）2+（y+4）2-32
當(dāng)且僅當(dāng)x=-6，y=-4時(shí)，即當(dāng)A，P重合時(shí)，
AM
•
AN
=-32最小
（II）解法二：同（I）可求P（-6，-4），設(shè)A（x，y），
PM
=-
PN

∵
AM
•
AN
=(
AP
+
PM
)•(
AP
+
PN
)
=|
AP
|2-|
PM
|2=|
AP
|2-32
∴當(dāng)A，P重合時(shí)，
AM
•
AN
=-32最小
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，用待定系數(shù)法求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示是解題的關(guān)鍵．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），焦點(diǎn)為F1、F2，雙曲線(xiàn)G：x2-y2=m（m＞0）的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P是雙曲線(xiàn)G上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線(xiàn)PF1、PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D，已知三角形ABF2的周長(zhǎng)等于8
2
，橢圓四個(gè)頂點(diǎn)組成的菱形的面積為8
2
．
（1）求橢圓E與雙曲線(xiàn)G的方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)PF1、PF2的斜率分別為k1和k2，探求k1和k2的關(guān)系；
（3）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，試求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以F1（-c，0）為圓心，以a-c為半徑作圓F1，過(guò)點(diǎn)B2（0，b）作圓F1的兩條切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)為M、N．
（1）若過(guò)兩個(gè)切點(diǎn)M、N的直線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B1（0，-b）時(shí)，求此橢圓的離心率；
（2）若直線(xiàn)MN的斜率為-1，且原點(diǎn)到直線(xiàn)MN的距離為4（
2
-1），求此時(shí)的橢圓方程；
（3）是否存在橢圓E，使得直線(xiàn)MN的斜率k在區(qū)間（-
2
2
，-
3
3
）內(nèi)取值？若存在，求出橢圓E的離心率e的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的離心率e=
1
2
．直線(xiàn)x=t（t＞0）與曲線(xiàn) E交于不同的兩點(diǎn)M，N，以線(xiàn)段MN 為直徑作圓 C，圓心為 C．
 （1）求橢圓E的方程；
 （2）若圓C與y軸相交于不同的兩點(diǎn)A，B，求△ABC的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•佛山二模）已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個(gè)交點(diǎn)為F1(-
3
，0)，而且過(guò)點(diǎn)H(
3
，
1
2
)．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓E的上下頂點(diǎn)分別為A1，A2，P是橢圓上異于A1，A2的任一點(diǎn)，直線(xiàn)PA1，PA2分別交x軸于點(diǎn)N，M，若直線(xiàn)OT與過(guò)點(diǎn)M，N的圓G相切，切點(diǎn)為T(mén)．證明：線(xiàn)段OT的長(zhǎng)為定值，并求出該定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的離心率e=
3
2
，直線(xiàn)x=2t（t＞0）與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)M、N，以線(xiàn)段MN為直徑作圓C，圓心為C
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）當(dāng)圓C與y軸相切的時(shí)候，求t的值；
（Ⅲ）若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△OMN面積的最大值．

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