Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是平行四邊形，且AA₁⊥底面ABCD，AB=2，AA₁=BC=4，∠ABC=60°，點E為BC中點，點F為B₁C₁中點．
（Ⅰ）求證：平面A₁ED⊥平面A₁AEF；
（Ⅱ）求三棱錐E-A₁FD的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知中AB=2，BC=4，∠ABC=60°，點E為BC中點，我們易得到∠AEB=60°，∠CED=30°，進而得到AE⊥ED，又由AA₁⊥底面ABCD，得AA₁⊥ED，結合線面垂直的判定定理得到ED⊥平面AA₁EF，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面A₁ED⊥平面A₁AEF；
（Ⅱ）將三棱錐E-A₁FD的體積轉化為三棱錐D-A₁FE的體積，求出棱錐的高及底面面積，代入棱錐體積公式，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵AB=2，BC=4，∠ABC=60°，點E為BC中點，
∴△ABC為等邊三角形，∠AEB=60°
△CDE中，∠CED=30°
∴AE⊥ED
∵AA₁⊥底面ABCD，
∴AA₁⊥ED，
又由AE∩AA₁=A
∴ED⊥平面AA₁EF
又∵ED?平面A₁ED
∴平面A₁ED⊥平面A₁AEF；
（Ⅱ）三棱錐E-A₁FD的體積與三棱錐D-A₁FE的體積相等
其中DE為棱錐的高，
又∵DE=AD•sin30°=2

3

∴V=

1

3

•(

1

2

×2×4)•2

3

=

8 3

3

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，棱錐的體積，其中根據(jù)AB=2，AA₁=BC=4，∠ABC=60°，點E為BC中點，結合等腰三角形性質，得到AE⊥ED，是解答本題的關鍵．