Question

2．?dāng)?shù)列x₁，x₂，…，x_n，…滿足x₁=$\frac{1}{3}$，x_n+1=${{x}_{n}}^{2}$+x_n（n∈N•），則$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{x}_{2013}+1}$的整數(shù)部分是2．

Answer 1

分析 由x₁=$\frac{1}{3}$，x_n+1=${{x}_{n}}^{2}$+x_n（n∈N•），可得$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$=x_n+1＞1，即數(shù)列{x_n}單調(diào)遞增．又x₂=$\frac{4}{9}$，x₃=$\frac{52}{81}$，x₄＞1．當(dāng)n≥4時(shí)，0＜$1-\frac{1}{{x}_{n}}$＜1．由于x_n+1=${{x}_{n}}^{2}$+x_n（n∈N•），可得$\frac{1}{{x}_{n+1}}=\frac{1}{{x}_{n}}-\frac{1}{{x}_{n}+1}$，即$\frac{1}{{x}_{n}+1}$=$\frac{1}{{x}_{n}}-\frac{1}{{x}_{n+1}}$，利用“裂項(xiàng)求和”可得：$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{x}_{2013}+1}$，=3-$\frac{1}{{x}_{2014}}$，即可得出．

解答 解：由x₁=$\frac{1}{3}$，x_n+1=${{x}_{n}}^{2}$+x_n（n∈N•），
∴$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$=x_n+1＞1，
∴數(shù)列{x_n}單調(diào)遞增，
可得x₂=$（\frac{1}{3}）^{2}+\frac{1}{3}$=$\frac{4}{9}$，
x₃=$\frac{52}{81}$，x₄=$\frac{52}{81}×（\frac{52}{81}+1）$＞1．
∴當(dāng)n≥4時(shí)，
∴0＜$1-\frac{1}{{x}_{n}}$＜1．
∵x_n+1=${{x}_{n}}^{2}$+x_n（n∈N•），
∴$\frac{1}{{x}_{n+1}}=\frac{1}{{x}_{n}}-\frac{1}{{x}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{x}_{n}+1}$=$\frac{1}{{x}_{n}}-\frac{1}{{x}_{n+1}}$，
∴$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{x}_{2013}+1}$
=$（\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2}}）$+$（\frac{1}{{x}_{2}}-\frac{1}{{x}_{3}}）$+…+$（\frac{1}{{x}_{2013}}-\frac{1}{{x}_{2014}}）$
=$\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2014}}$
=3-$\frac{1}{{x}_{2014}}$
=2+$1-\frac{1}{{x}_{2014}}$的整數(shù)部分是2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．