Question

12．已知函數(shù)f（x）定義在自然數(shù)集上，且對(duì)任意x∈N^*，都有f（x）=f（x-1）+f（x+1），其中f（1）=2008，問f（x）是不是周期函數(shù)？若是周期函數(shù)，求出它的一個(gè)周期，并求f（2008）．

Answer 1

分析 對(duì)任意x∈N^*，都有f（x）=f（x-1）+f（x+1），可得f（x+1）=f（x）+f（x+2），可得0=f（x）+f（x+3），f（x+6）=f（x）．可得f（2008）=f（4）．利用0=f（1）+f（4），即可得出．

解答 解：∵對(duì)任意x∈N^*，都有f（x）=f（x-1）+f（x+1），
∴f（x+1）=f（x）+f（x+2），
相加可得：0=f（x-1）+f（x+2），
∴0=f（x）+f（x+3），
∴0=f（x+3）+f（x+6），
∴f（x+6）=f（x），
∴f（x）是周期函數(shù)，6是它的一個(gè)周期，
f（2008）=f（334×6+4）=f（4）．
∵0=f（1）+f（4），
∴f（4）=-f（1）=-2008．
∴f（2008）=-2008．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的周期性與轉(zhuǎn)化能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．