Question

已知函數(shù)f（x）=2sinxcos（x-φ）-

1

2

，（0＜φ＜

π

2

）在區(qū)間[0，π]上的圖象如圖所示，其最高點為A，最低點為B
（1）求φ的值；
（2）設α為銳角f（

α

2

+

π

6

）=

3

5

，求sinα的值．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,三角函數(shù)中的恒等變換應用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)圖象結(jié)合函數(shù)的最值建立條件關(guān)系即可求φ的值；
（2）利用α為銳角f（

α

2

+

π

6

）=

3

5

，結(jié)合兩角和差的正弦公式即可求sinα的值．

解答： 解：（1）f（x）=2sinxcos（x-φ）-

1

2

=2sinx[cosxcosφ+sinxsinφ）-

1

2

=sin2xcosφ+2sin²xsinφ-

1

2

=sin2xcosφ+（1-cos2x）sinφ-

1

2

=sin2xcosφ-cos2xsinφ+sinφ-

1

2

=sin（2x-φ）+sinφ-

1

2

∵函數(shù)的最大值是1，
∴當sin（2x-φ）=1時，函數(shù)取得最大值為1+sinφ-

1

2

=1，
即sinφ=

1

2

，
∵0＜φ＜

π

2

，∴φ=

π

6

．
（2）∵φ=

π

6

．
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）．
則f（

α

2

+

π

6

）=sin[2×（

α

2

+

π

6

）-

π

6

]=sin（α+

π

6

）=

3

5

，
∵α是銳角，∴0＜α＜

π

2

，
則

π

6

＜α+

π

6

＜

2π

3

，則-

1

2

＜cos（α+

π

6

）＜

3

2

，
則cos（α+

π

6

）=±

1-( 3 5 )2

  =±

4

5

，
則cos（α+

π

6

）=

4

5

，
則sinα=sin[（α+

π

6

）-

π

6

]=sin（α+

π

6

）cos

π

6

-cos（α+

π

6

）sin

π

6

=

3

5

×

3

2

+

4

5

×

1

2

=

3 3 +4

10

．

點評：本題主要考查函數(shù)解析式的求解，以及兩角和差的正弦公式的應用，考查學生的運算能力．