Question

函數(shù)f（x）=[x]的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)．
（Ⅰ）求f（1.6）、f（2）；
（Ⅱ）記函數(shù)g（x）=x-f（x）（0≤x＜4），在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)g（x）的圖象；
（Ⅲ）若方程g（x）-log_α﹙x-

1

2

﹚=0（α＞0且α≠1）有且僅有一個(gè)實(shí)根，求α的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)圖象的作法,函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）=[x]，可得f（1.6）和f（2）的值．
（Ⅱ）由 f（x）的解析式求得g（x）=x-f（x）的解析式，從而畫出函數(shù)g（x）的圖象．
（Ⅲ）由題意可得，函數(shù)y=g（x）的圖象和函數(shù)y=log_α﹙x-

1

2

﹚=0（α＞0且α≠1）的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)函數(shù)y的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，1）時(shí)，求得α的值，當(dāng)函數(shù)y的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，1）時(shí)，求得α的值，從而得到要求的α的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）=[x]，可得f（1.6）=[1.6]=1，f（2）=[2]=2．
（Ⅱ）∵f（x）=

0，x∈[0，1) 1，x∈[1，2) 2，x∈[2，3) 3，x∈[3，4)

，（0≤x＜4），∴g（x）=x-f（x）=

x，x∈[0，1) x-1，x∈[1，2) x-2，x∈[2，3) x-3，x∈[3，4)

．
在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)g（x）的圖象，如圖所示：
（Ⅲ）若方程g（x）-log_α﹙x-

1

2

﹚=0（α＞0且α≠1）有且僅有一個(gè)實(shí)根，
則函數(shù)y=g（x）的圖象和函數(shù)y=log_α﹙x-

1

2

﹚=0（α＞0且α≠1）的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)函數(shù)y=log_α﹙x-

1

2

﹚=0（α＞0且α≠1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，1）時(shí)，α=

5

2

；
當(dāng)函數(shù)y=log_α﹙x-

1

2

﹚=0（α＞0且α≠1）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，1）時(shí)，α=

7

2

，
故要求的α的范圍為（

5

2

，

7

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要求函數(shù)的圖象的作法，方程的根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．