Question

如圖，已知菱形ABCD的邊長為6，∠BAD=60°，AC∩BD=O，將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折起，得到三棱錐B-ACD，點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn)，DM=3。

（1）求證：OM∥平面ABD；
（2）求證：平面ABC⊥平面MDO；
（3）求三棱錐M-ABD的體積。

Answer 1

解：（1）證明：因?yàn)镺是菱形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，
所以O(shè)是AC的中點(diǎn)
又點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn)，
所以O(shè)M是△ABC的中位線，OM∥AB
因?yàn)镺M平面ABD，AB平面ABD，
所以O(shè)M∥平面ABD。
（2）證明：由題意，OM=OD=3
因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/upload/papers/g02/20111207/20111207150556109987.gif">
所以∠DOM=90°，OD⊥OM
又因?yàn)榱庑蜛BCD，
所以O(shè)D⊥AC
因?yàn)镺M∩AC=O，
所以O(shè)D⊥平面ABC，
因?yàn)镺D平面MDO，
所以平面ABC⊥平面MDO。
（3）三棱錐M-ABD的體積等于三棱錐D-ABM的體積
由（2）知，OD⊥平面ABC，
所以O(shè)D=3為三棱錐D-ABM的高
△ABM的面積為

所求體積等于。