Question

20．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n²+n（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n．
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$（n∈N^*），T_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，求T₉．

Answer 1

分析 （1）利用n=1時，a₁=S₁；n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，即可得出．
（2）${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{2n（2n+2）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），利用“裂項求和”即可得出．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n²+n，
∴n=1時，a₁=2；
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n，
當n=1時，上式也成立．
∴a_n=2n（n∈N^*）．
（2）${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{2n（2n+2）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
T₉=$\frac{1}{4}$[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$）]=$\frac{1}{4}$×（1-$\frac{1}{10}$）=$\frac{9}{40}$．

點評 本題考查了遞推式的應用、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．