Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，其棱長(zhǎng)為1，則列命題中正確命題的個(gè)數(shù)為（　�。�
（1）A₁C₁和AD₁所成角為

π

3

（2）B₁到截面A₁C₁D的距離為

2 3

3

（3）正方體的內(nèi)切球與外接球的半徑比為1：

2

．

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點(diǎn)：球內(nèi)接多面體,棱柱的結(jié)構(gòu)特征

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）首先，連結(jié)AC、CD₁、AD₁，則∠CAD₁就是A₁C₁和AD₁所成角，然后求解即可；
（2）可以利用等積法求解其高；
（3）正方體的內(nèi)切球半徑就是棱長(zhǎng)的一半，外接球的直徑就是正方體的體對(duì)角線(xiàn)．

解答： 解：對(duì)于（1）如圖

連結(jié)AC、CD₁、AD₁，
則∠CAD₁就是A₁C₁和AD₁所成角，
在等邊△ACD₁中，
∴∠CAD₁=

π

3

，故（1）正確；
對(duì)于（2）如圖：

V_{三棱錐B1-A1C1D}=V_{三棱錐D-A1B1C1}，
即

1

3

S_△A1C1D×h=

1

3

S_△A1B1C1×a，
∴h=

3

3

．
故（2）錯(cuò)誤；
對(duì)于（3）：
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2a，
則正方體的內(nèi)切球半徑就是棱長(zhǎng)的一半，
即r=a，
外接球的直徑就是正方體的體對(duì)角線(xiàn)，即
R=

3

a，
∴r：R=1：

3

，
故（3）錯(cuò)誤，
綜上，只有（1）正確；
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了正方體中的邊角關(guān)系、線(xiàn)線(xiàn)平行、體積公式等知識(shí)，屬于中檔題．解題關(guān)鍵是正確添加輔助線(xiàn)和等積法在求解距離中的靈活運(yùn)用．