Question

【題目】如圖，正方體的棱長(zhǎng)為分別是棱，的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的平面分別與棱，交于點(diǎn)，設(shè).給出以下四個(gè)命題：

①平面與平面所成角的最大值為45°；

②四邊形的面積的最小值為；

③四棱錐的體積為；

④點(diǎn)到平面的距離的最大值為.

其中命題正確的序號(hào)為（ ）

A.②③④B.②③C.①②④D.③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

由兩平面所成角的余弦公式即面積射影公式,計(jì)算可得所求最大值,可判斷①;由四邊形為菱形,計(jì)算面積,考慮的最小值,可判斷②;由棱錐的等體積法,計(jì)算可判斷③;由等體積法和函數(shù)的性質(zhì)可判斷④.

對(duì)于①,由面面平行的性質(zhì)定理可得,,

可得四邊形為平行四邊形,

又直角梯形和直角梯形全等,可得,

即有四邊形為菱形,且,

平面在底面上的射影為四邊形,

設(shè)平面與平面所成角為,

由面積射影公式可得,

由,可得,

可得平面與平面所成角的最大值不為,故①錯(cuò)誤;

對(duì)于②,由,可得菱形的面積的最小值為,故②正確;

對(duì)于③,因?yàn)樗睦忮F的體積為,故③正確;

對(duì)于④,,,

設(shè)到平面的距離為,可得,

所以(其中,

當(dāng)即時(shí),取得最大值,故④正確.

故選:C.