【題目】在如圖所示的三棱錐中,是邊長為2的等邊三角形,,的中位線,為線段的中點(diǎn).

1)證明:.

2)若二面角為直二面角,求二面角的余弦值.

【答案】1)見解析;(2.

【解析】

1)如圖,由中位線可得,取的中點(diǎn)為,取的中點(diǎn),連接,可證平面,從而可證.

2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,計(jì)算出平面的法向量和平面的法向量的夾角的余弦值后可得二面角的余弦值.

1)如圖,取的中點(diǎn)為,取的中點(diǎn),連接.

因?yàn)?/span>是邊長為2的等邊三角形,,所以.

因?yàn)?/span>,故,故.

因?yàn)?/span>,所以,所以.

因?yàn)?/span>,故,所以.

因?yàn)?/span>,平面,平面,故平面,

因?yàn)?/span>平面,.

因?yàn)?/span>,故,所以.

2)由(1)可得,

所以為二面角的平面角,

因?yàn)槎娼?/span>為直二面角,所以.

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

.

,,.

設(shè)平面的法向量為,

,故,取,則

所以.

設(shè)平面的法向量為,

,取,則,

,

所以

因?yàn)槎娼?/span>的平面角為銳角,

故二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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(1)估計(jì)成績得分落在[86,100]中的概率.

(2)設(shè)這1000人得分的樣本平均值為

(i)求(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);

(ii)有關(guān)部門為參與此次活動(dòng)的市民贈(zèng)送20元或10元的隨機(jī)話費(fèi),每次獲贈(zèng)20元或10元的隨機(jī)話費(fèi)的概率分別為得分不低于的可獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi),得分低于的可獲贈(zèng)1次隨機(jī)話費(fèi).求一位市民參與這次活動(dòng)獲贈(zèng)話費(fèi)的平均估計(jì)值

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第一周

第二周

第三周

第四周

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20

25

10

5

乙組

8

16

20

16

用方式一與方式二進(jìn)行培訓(xùn),分別估計(jì)員工受訓(xùn)的平均時(shí)間精確到,并據(jù)此判斷哪種培訓(xùn)方式效率更高?

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