已知函數(shù)(a為實常數(shù)).
(1)若,求證:函數(shù)在(1,+.∞)上是增函數(shù);
(2)求函數(shù)在[1,e]上的最小值及相應的值;
(3)若存在,使得成立,求實數(shù)a的取值范圍.

(1)當時,,當,;
(2)當時,的最小值為1,相應的x值為1;當時,
的最小值為,相應的x值為;當時,的最小值為,
相應的x值為
(3)。

解析試題分析:(1)當時,,當,
故函數(shù)上是增函數(shù).         4分
(2),當,
,上非負(僅當,x=1時,),故函數(shù)上是增函數(shù),此時.                6分
,當時, ;當時,,此時
是減函數(shù); 當時,,此時是增函數(shù).故

,上非正(僅當,x=e時,),故函數(shù)上是減函數(shù),此時.    8分
綜上可知,當時,的最小值為1,相應的x值為1;當時,
的最小值為,相應的x值為;當時,的最小值為,
相應的x值為.        10分
(3)不等式,可化為
, ∴且等號不能同時取,所以,即,
因而)      12分
),又,       14分
時,,
從而(僅當x=1時取等號),所以

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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

設(shè)為實數(shù),函數(shù)
①求的單調(diào)區(qū)間與極值;
②求證:當時,。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本題滿分12分)
設(shè)函數(shù)(a>0,b,cÎR),曲線在點P(0,f (0))處的切線方程為
(Ⅰ)試確定b、c的值;
(Ⅱ)是否存在實數(shù)a使得過點(0,2)可作曲線的三條不同切線,若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)若,求的最小值;
(Ⅱ)若當,求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知函數(shù)上為增函數(shù),且,為常數(shù),.
(1)求的值;
(2)若上為單調(diào)函數(shù),求的取值范圍;
(3)設(shè),若在上至少存在一個,使得成立,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

已知函數(shù)
(1) 若的極值點,求在[1,]上的最大值;
(2) 若在區(qū)間[1,+)上是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分14分)
已知函數(shù)處有極小值。
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若函數(shù)只有一個零點,求的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本題滿分10分)  如圖,由y=0,x=8,y=x2圍成的曲邊三角形,在曲線弧OB上求一點M,使得過M所作的y=x2的切線PQ與OA,AB圍成的三角形PQA面積最大。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)
設(shè)函數(shù)的圖像與直線相切于點.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)討論函數(shù)的單調(diào)性.

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