Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax²+bx，其中a、b是實(shí)數(shù)，
（Ⅰ）已知a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，求事件A：“f（x）是R上的單調(diào)增函數(shù)”發(fā)生的概率；
（Ⅱ）若f（x）是R上的奇函數(shù)，且b=-4，求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，推出基本事件的總數(shù)，事件A：“f（x）是R上的單調(diào)增函數(shù)”的個(gè)數(shù)，然后求解概率；
（Ⅱ）利用（Ⅰ），求出f（x）的表達(dá)式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)列表，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

解答： 解：（I） 當(dāng)a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}時(shí)，等可能發(fā)生的基本事件（a，b）共有9個(gè)，
事件A即f′（x）=x²-2ax+b≥0恒成立，即a²≤b，包含5個(gè)基本事件，即事件A發(fā)生的概率為

5

9

；  …（6分）
（Ⅱ） f（x）=

1

3

x³-4x，f′（x）=x²-4，由f′（x）=0可知x=±2，列表如下：

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-2）和（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（-2，2），
f（x）在x=-2處取得極大值

16

3

；f（x）在x=2處取得極小值-

16

3

． …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，單調(diào)性以及函數(shù)的極值的求法，古典概型求解概率，考查計(jì)算能力．