Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）過點A（2，-4），
（Ⅰ）求拋物線C的方程，并求其準線l的方程；
（Ⅱ）若點B（0，2），求過點B且與拋物線C有且僅有一個公共點的直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的標準方程,拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用已知條件求出p，即可求拋物線C的方程，并求其準線l的方程；
（Ⅱ）①當直線l的斜率不存在時，②如果直線l的斜率為0，分別判斷是否滿足題意，③直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為y=kx+2，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用△=0求出k，即可得到直線方程．

解答： 解：（ I）由題拋物線C：y²=2px（p＞0）過點A（2，-4），16=4p，解得p=4，
拋物線C的方程為y²=8x，其準線l方程為x=-2；                     …（4分）
（Ⅱ）由題，①當直線l的斜率不存在時，y軸符合題意，其方程為x=0；
②如果直線l的斜率為0，y=2符合題意；
③如果直線l的斜率存在且不為0，則設(shè)直線l的方程為y=kx+2，
由

y=kx+2 y2=8x

得ky²-8y+16=0，
由△=64-64k=0得k=1，故直線l的方程為y=x+2，即x-y+2=0，
因此，直線l的方程為x=0或y=2或x-y+2=0．（用其他方法解答的請酌情給分）      …（12分）

點評：本題考查拋物線的方程的求法，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，注意分類討論思想的應(yīng)用．