Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

x2-bx+1

，b為常數(shù)．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）若f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷f（x）的奇偶性；
（2）利用二次函數(shù)的判別式△與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，進(jìn)行分類討論即可求出實數(shù)b的取值范圍．

解答： 解：（1）若b=0，則f（x）=

1

x2-bx+1

=

1

x2+1

，此時f（-x）=

1

x2+1

=f（x），此時為偶函數(shù)，
若b≠0，則f（-x）=

1

x2+bx+1

≠f（x），且f（-x）≠-f（x），即函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)．
（2）①當(dāng)判別式△=（-b）²-4＜0，即-2＜b＜2，此時函數(shù)的定義域為R，若f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減，
則滿足-

b

2

≤1，即b≥-2，此時-2＜b＜2．
②當(dāng)判別式△=（-b）²-4=0，即b=-2或b=2，此時函數(shù)的定義域為{x|x≠

b

2

}，滿足f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減．
③當(dāng)判別式△=（-b）²-4=＞0，即b＞2或b＜-2，此時函數(shù)的定義域為{x|x≠

b± b2-4

2

}，為滿足f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減，
必須有

b± b2-4

2

≤1，得b＜-2，
下面證明當(dāng)b＜-2時，f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減，
任意設(shè)1＜x₁＜x₂，則x12-bx1+1＞0，x22-bx2+1＞0，且x₁+x₂-b＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=

1

x 2 1 -bx1+1

-

1

x 2 2 -bx2+1

=

x 2 2 -bx2+1-( x 2 1 -bx1+1)

( x 2 1 -bx1+1)( x 2 2 -bx2+1)

=

(x2-x1)(x1+x2-b)

( x 2 1 -bx1+1)( x 2 2 -bx2+1)

＞0，
則當(dāng)b＜-2時，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
綜上若f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減，求實數(shù)b的取值范圍是（-∞，2]．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性以及分類討論是解決本題的關(guān)鍵．